Question

7．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，過F₂在的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AF₁⊥AB且AF₁=AB，則橢圓C的離心率為$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=t，則|AB|=t，|F₁B|=$\sqrt{2}$t，由橢圓定義有|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，求得|AF₂|關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而利用韋達(dá)定理可求得a和c的關(guān)系

解答 解：設(shè)|AF₁|=t，則|AB|=t，|F₁B|=$\sqrt{2}$t，由橢圓定義有：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a
∴|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，
化簡(jiǎn)得（$\sqrt{2}$+2）t=4a，t=（4-2$\sqrt{2}$）a
∴|AF₂|=2a-t=（2$\sqrt{2}$-2）a
在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²
∴（$\frac{c}{a}$）²=9-6$\sqrt{2}$=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∴e=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解和運(yùn)用，屬于中檔題．