Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x•（x²-mx）在x=$\sqrt{2}$處取得極小值．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=ln（ax+1）-$\frac{{x}^{2}-1}{\frac{f（x）}{{e}^{x}}+4x+1}$（a＞0），若g（x）在[0，+∞）上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\sqrt{2}$）=0，從而求出m的值；（Ⅱ）先求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，結(jié)合g（x）的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（2-m）x-m]，
由f′（$\sqrt{2}$）=0，得：2+（2-m）$\sqrt{2}$-m=0，
解得：m=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=e^x（x²-2x），
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²-2x，
∴g（x）=ln（ax+1）-$\frac{{x}^{2}-1}{{（x+1）}^{2}}$=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1，
∴g′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{a（x+1）}^{2}-2（ax+1）}{（ax+1）（{x+1）}^{2}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=1，
∴當(dāng)函數(shù)g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增時(shí)，g（x）_min=g（0）=1，
∴g′（x）≥0，
令h（x）=a（x+1）²-2（ax+1）=ax²+a-2≥0在[0，+∞）恒成立，
∴a-2≥0，解得：a≥2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，（Ⅱ）較復(fù)雜，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求出答案，本題屬于中檔題．