Question

11．定義在上（0，$\frac{π}{4}$）的函數(shù)f（x）滿足2f（x）＜f′（x）tan2x，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{π}{6}$）
• B． f（$\frac{1}{4}$）$＞2f（\frac{π}{12}）$sin$\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{8}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{12}$）＞f（$\frac{π}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)商的關(guān)系化簡2f（x）＜f′（x）tan2x，由式子的特點和求導(dǎo)公式、法則構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sin2x}$，求出g′（x）根據(jù)條件判斷出符號，得到g（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性驗證出正確答案．

解答 解：∵在（0，$\frac{π}{4}$）上滿足2f（x）＜f′（x）tan2x，
∴2（cos2x）f（x）＜f′（x）sin2x，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{sin2x}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）sin2x-2（cos2x）f（x）}{si{n}^{2}2x}$＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{12}$），則$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{3}}＞\frac{f（\frac{π}{12}）}{sin\frac{π}{6}}$，
化簡可得$\sqrt{3}f（\frac{π}{12}）＜f（\frac{π}{6}）$，
故選：A．

點評 本題考查求導(dǎo)公式和法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．