Question

7．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，函數(shù)$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{2}{x^2}+cx+d$（a＜0）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），滿足f（x₂）=x₁．則關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，從而關(guān)于f（x）的方程a（f（x））²+bf（x）+c=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案．

解答 解：∵f′（x）=ax²+bx+c，
由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，即x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
x₂＞x₁，從而關(guān)于f（x）的方程a[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有兩個(gè)根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根據(jù)題意畫(huà)圖，

所以f（x）=x₁有兩個(gè)不等實(shí)根，f（x）=x₂只有一個(gè)不等實(shí)根，
綜上方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想．