【題目】已知函數(shù)f(x)=x2alnx,a>0.

1)若f(x)x=1處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;

2)求f(x)在區(qū)間[2,+)上的最小值;

3)在(1)的條件下,若g(x)=x2f(x),求證:當(dāng)1<x<e2,恒有x.

【答案】122)當(dāng)0<a8時(shí),最小值為42ln2;當(dāng)a>8時(shí),最小值為3)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)利用列方程,由此求得的可能取值,驗(yàn)證后求得的值.

2)求得的定義域和導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求得在區(qū)間上的最小值.

3)求得,判斷出,將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.

1)由f(x)=x2alnx知,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(0,+),∵函數(shù)f(x)x=1處取得極值,∴f(1)=0,即2a=0,解得a=2,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,故a=2;

2)由(1)得,定義域?yàn)?/span>(0,+),當(dāng)0<a8時(shí),由f(x)=0,且,當(dāng)時(shí),f(x)<0f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x)在區(qū)間[2,+)上單調(diào)遞增,最小值為f(2)=42ln2,當(dāng)a>8時(shí),,當(dāng)時(shí),f(x)<0f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴函數(shù)f(x)處取得最小值,綜上,當(dāng)0<a8時(shí),f(x)在區(qū)間[2,+)上的最小值為42ln2;當(dāng)a>8時(shí),f(x)在區(qū)間[2+)上的最小值為;

3)由g(x)=x2f(x)g(x)=2lnx,當(dāng)1<x<e2時(shí),0<lnx<20<g(x)<4,欲證,只需證x[4g(x)]<4+g(x),即證,即,設(shè),則,當(dāng)1<x<e2時(shí),φ′(x)>0,所以φ(x)在區(qū)間(1,e2)上單調(diào)遞增,∴φ(x)>φ(1)=0,即,∴,由此得證.

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(2)從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹(shù)里隨機(jī)抽取兩株,求產(chǎn)量在區(qū)間(55,60]上的果樹(shù)至少有一株被抽中的概率.

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支持

不支持

合計(jì)

男性市民

60

女性市民

50

合計(jì)

70

140

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