Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-1，則函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（-10，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極大值、極小值，利用函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有三個零點，即可求出實數(shù)k的取值范圍

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-1，∴f′（x）=x²-2x-3，
由f′（x）=x²-2x-3＞0，得：x＜-1或x＞3；f′（x）=x²-2x-3＜0，得：-1＜x＜3，
∴函數(shù)在x=-1處取得極大值，x=3處取得極小值，
∴f（-1）=$\frac{2}{3}$，f（3）=-10．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有三個零點，
∴實數(shù)k的取值范圍是（-10，$\frac{2}{3}$）．
故答案為：（-10，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，考查函數(shù)的極大值、極小值，屬于中檔題．