Question

12．已知函數(shù)$f（x）=|x|+\frac{m}{x}-2$（x≠0）．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，判斷f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）通過(guò)討論m的范圍，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=2，且x＜0時(shí)，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$是單調(diào)遞減的．…（1分）
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-{x_1}+\frac{2}{x_1}-2-（-{x_2}+\frac{2}{x_2}-2）$=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）$=$（{x_2}-{x_1}）+\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）$
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
所以$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故當(dāng)m=2時(shí)，$f（x）=-x+\frac{2}{x}-2$在（-∞，0）上單調(diào)遞減的．   …（7分）
（2）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），
變?yōu)閙=-x|x|+2x（x≠0）
令$g（x）=2x-x|x|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x＞0\\{x^2}+2x，x＜0\end{array}\right.$…（9分）
當(dāng)m＞1或m＜-1時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．…（11分）
當(dāng)m=1或m=0或m=-1時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；…（13分）
當(dāng)0＜m＜1或-1＜m＜0時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．