Question

2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅的值．
（3）設(shè)b_n=a_n+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公式，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用對數(shù)性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅的值．
（3）由b_n=a_n+log₂a_n=2^n-2+n-2，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{2}}\\{6{a}_{1}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{5}+{a}_{1}{q}^{6}}\end{array}\right.$，且q＞0，
解得q=2，${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅
=$lo{g}_{2}{2}^{-1}+lo{g}_{2}2+lo{g}_{2}{2}^{3}$+…+$lo{g}_{2}{2}^{23}$
=-1+1+3+5+…+23
=$\frac{13}{2}$（-1+23）
=143．
（3）∵b_n=a_n+log₂a_n=2^n-2+n-2，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=2^-1+2⁰+2+2²+…+2^n-2+（1+2+3+…+n）-2n
=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$-2n
=2^n-1+$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)及分組求和法的合理運(yùn)用．