Question

9．已知直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設曲線C與直線l交于A，B兩點，若P（1，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，即4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得曲線C的直角坐標方程．直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t化為直線l的普通方程．
（Ⅱ）由于點P（1，2）在直線l上，把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：$13{t^2}+4（4+6\sqrt{3}）t+16=0$．設方程的兩個實根為t₁，t₂，根據t的幾何意義即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，即4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，可得：曲線C的直角坐標方程為4x²+3y²=12，化為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$．
直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t化為：直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=0$．
（Ⅱ）∵點P（1，2）在直線l上，把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，
整理得：$13{t^2}+4（4+6\sqrt{3}）t+16=0$，△≥0，
設方程的兩個實根為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=-\frac{{8（2+3\sqrt{3}）}}{13}$，
根據t的幾何意義得：$|{PA}|+|{PB}|=-（{t_1}+{t_2}）=\frac{{8（2+3\sqrt{3}）}}{13}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、直線與橢圓相交弦長問題、直線參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．