Question

在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；

（Ⅱ）求平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大小；

 

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>，所以，

因?yàn)槠矫?i>PBC⊥平面ABCD，平面PBC平面ABCD＝BC，AB平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC．

（Ⅱ）如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)?i>PB=PC，所以PO⊥BC。因?yàn)?i>PB=PC，所以PO⊥BC，因?yàn)槠矫?i>PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。以O為原點(diǎn)，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于BC的直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz。

不妨設(shè)BC＝2。由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD得，

，

所以，

設(shè)平面PAD的法向量為．

因?yàn)?sub>，所以．

令，則，所以．

取平面BCP的一個(gè)法向量，

所以，

所以平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大小為．