Question

7．設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為：x=c或x=-c，代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，依題意$\frac{2^{2}}{a}$=4a，即可求出C的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為：x=c或x=-c，代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，∴y=±$\frac{^{2}}{a}$，
故|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，依題意$\frac{2^{2}}{a}$=4a，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，∴e²-1=2，∴e=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．