Question

已知函數(shù)f（x）=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，若a∈（0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax（x∈[1，3]）的最大值與最小值的差為h（a），則h（a）的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)g（x）=f（x）-ax的表達(dá)式，從而求函數(shù)g（x）=f（x）-ax（x∈[1，3]）的最大值與最小值，從而求出h（a）=

1-a，0＜a＜ 1 2 a， 1 2 ≤a＜1

，從而求h（a）的值域．

解答： 解：由a∈（0，1），若1≤x≤2，
則g（x）=f（x）-ax=1-ax在[1，2]上單調(diào)遞減，
若2＜x≤3，
則g（x）=f（x）-ax=x-1-ax=（1-a）x-1在（2，3]上單調(diào)遞增，
故g_min（x）=g（2）=1-2a，
又∵g（1）=1-a，g（3）=2-3a；
g（3）-g（1）=1-2a，
故當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，
g_max（x）=g（3）=2-3a，
當(dāng)

1

2

≤x＜1時(shí)，
g_max（x）=g（1）=1-a；
故h（a）=

1-a，0＜a＜ 1 2 a， 1 2 ≤a＜1

，
故函數(shù)的值域?yàn)閇

1

2

，1）．
故答案為：[

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的最值的求法及分段函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．