Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點與拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點重合，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點A（0，-2）且斜率為k（k≠0）直線l與橢圓C交于不同兩點P、Q，當(dāng)線段PQ的長度為$\frac{{4•\sqrt{2}}}{5}$時，求三角形OPQ（O為坐標(biāo)原點）的面積．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點，利用橢圓的離心率，求解a、c，推出b，即可求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用判別式求出k的范圍，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）利用韋達定理以及弦長公式求出|PQ|解得：k，得到直線l的方程，求出三角形的高然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點為$（\sqrt{3}，0）$，…（2分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}}\right.$
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得（1+4k²）x²-16kx+12=0
由△=16（4k²-3）＞0得：${k^2}＞\frac{3}{4}$
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…（7分）
從而$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$…（9分）
兩邊平方，解得：k=±1，此時直線l的方程為：y=±x-2…（10分）
原點O到直線l的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$
∴三角形OPQ的面積$S=\frac{1}{2}|PQ|•d=\frac{4}{5}$…（12分）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．