Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+

a

x

，x∈[2，+∞）
（1）當a=1時，求f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）首先，把給定的a的值代入，然后，求解導數(shù)，判斷函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)，然后確定其最小值即可；
（2）根據(jù)已知條件，分離出參數(shù)a，然后，轉化成a＞（-x³+2x²）max，求解函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴函數(shù)f（x）=x²-2x+

1

x

，
∴f′（x）=

2(x-1)x2-1

x2

，
∵x∈[2，+∞）
∴f′（x）＞0，
∴f（x）的最小值為f（2）=

1

2

．
（2）∵f（x）=x²-2x+

a

x

，
f（x）＞0，
∴x²-2x+

a

x

＞0，
∴a＞-x³+2x²，
f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
也就是a＞（-x³+2x²）max
設g（x）=-x³+2x²，
∴g′（x）=-3x²+2x，
∴g′（x）=0，解得x=0或x=

2

3

，
當0＜x＜

2

3

時，g′（x）＞0，
當x＞

2

3

時，g′（x）＜0，
∴當x=

2

3

時，g（x）有最大值

16

27

，
∴實數(shù)a的取值范圍（

16

27

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了導數(shù)在求解函數(shù)最值中的應用，考查等價轉化思想的應用．