Question

3．在數(shù)列{a_n}中，若存在非零整數(shù)T，使得a_m+T=a_m對(duì)于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．若數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和是（　�。�

• A． 671
• B． 672
• C． 1342
• D． 1344

Answer 1

分析 ①若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項(xiàng)都等于1，此時(shí)a=1，而該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時(shí)該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，矛盾，舍去．②若其最小周期為2，同理得出矛盾，舍去．綜上所述，當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，其最小周期是3，a=1，即可得出．

解答 解：①若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項(xiàng)都等于1，此時(shí)a=1，
而該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時(shí)該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，矛盾，舍去．
②若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此時(shí)該數(shù)列的項(xiàng)依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時(shí)它并不是以2為周期的數(shù)列，舍去．
③綜上所述，當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，其最小周期是3，a=1，又2 015=3×671+2，
故此時(shí)該數(shù)列的前2 015項(xiàng)和是671×（1+1+0）+（1+1）=1344．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．