Question

12．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，AB⊥AC，M，N，Q分別是CC₁，BC，AC的中點，點P在線段A₁B₁上運動．
（Ⅰ）證明：無論點P在線段A₁B₁上的任何位置，總有AM⊥平面PNQ；
（Ⅱ）若AC=1，試求三棱錐P-MNQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空間直角坐標系，設(shè)出棱長，得到點的坐標，由向量數(shù)量積證得答案；
（Ⅱ）把三棱錐P-MNQ的體積轉(zhuǎn)化為A₁-MNQ的體積，即N-A₁MQ的體積，則三棱錐P-MNQ的體積可求．

解答 （Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AA₁=AB=AC=a，
則A（0，0，0），M（0，a，$\frac{a}{2}$），N（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），Q（0，$\frac{a}{2}$，0），
A₁（0，0，a），B₁（a，0，a），
再設(shè)P（x，0，a），由A₁P=λA₁B₁，得$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，
即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，
∴P（λa，0，a），
∵$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{a}{2}-λa，\frac{a}{2}，-a$），$\overrightarrow{PQ}$=（-λa，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{AM}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{PN}$=0，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，則AM⊥平面PNQ；
（Ⅱ）設(shè)P點到平面MNQ的距離為h，由A₁B₁∥AB∥NQ，可得A₁B₁∥平面MNQ，
∴動點P到平面MNQ的距離為定值，
由V_P-MNQ=${V}_{{A}_{1}-MNQ}$=${V}_{N-{A}_{1}QM}$，${S_{△{A_1}MQ}}=\frac{3}{8}，NQ=\frac{1}{2}$，${V_{P-MNQ}}=\frac{1}{16}$．

點評 利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標表示空間向量，是中檔題．