【題目】已知函數(shù)，為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：.

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】

（1）分子所對應的二次函數(shù),分情況討論的正負以及根與1的大小關系，即可；（2）由（1）得兩個極值點滿足，所以，則，將化簡整理為的函數(shù)即，構造函數(shù)求導證明不等式即可.

(1)函數(shù)的定義域為.

由題意，.

（i）若，則，于是，當且僅當時，，所以在單調遞減.

（ii）若，由，得或，

當時，；

當時，；

所以在單調遞減，單調遞增.

（iii）若，則，

當時，；當時，；

所以在單調遞減，單調遞增

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞減；

當時，函數(shù)在上單調遞減，上單調遞增；

當時，函數(shù)在上單調遞減，上單調遞增.

（2）由（1）知，有兩個極值點當且僅當，

由于的兩個極值點滿足，所以，則，

由于

.

設.

.

當時，，所以.

所以在單調遞減，又.

所以，即.

練習冊系列答案
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（2）直線過F與從下到上依次交于A，B，與交于F，M，直線過F與從下到上依次交于C，D，與交于F，N，，的斜率之積為-2．

（i）求證：M，N兩點的橫坐標之積為定值；

（ii）設△ACF，△MNF，△BDF的面積分別為，，，求證：為定值.

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（2）設，其導函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點且，設線段的中點為，試問是否為的根？說明理由.

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C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

D. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

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①曲線形狀為橢圓；

②點為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點；

③該曲線上任意兩點間的最長距離為，最短距離為；

④該曲線的離心率為．其中正確命題的序號為 （ ）

A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④

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