Question

【題目】已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M(1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線(xiàn)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N(3，2)，記直線(xiàn)AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證：k1+k2為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）根據(jù)幾何條件得即可，（2）先考慮斜率不存在時(shí)特殊情況，再考慮斜率存在情況，設(shè)直線(xiàn)方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得結(jié)果.

(1)依題意， 由已知得,解得

所以橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由解得

設(shè)

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為

代入化簡(jiǎn)整理得

依題意，直線(xiàn)與橢圓必相交于兩點(diǎn)，設(shè)則

又

故

=

=

=為定值.

綜上，為定值2.