Question

5．設(shè)拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A（4，0），線段FA交拋物線于點(diǎn)B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p的值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得BM=BF，又AM⊥MF，根據(jù)直角三角形斜邊的中點(diǎn)是外心，可得故B為線段AF的中點(diǎn)，求出B的坐標(biāo)代入拋物線方程求得p值．

解答 解：由拋物線的定義可得BM=BF，F(xiàn)（0.$\frac{p}{2}$），
又AM⊥MF，故B為線段AF的中點(diǎn)，
∴B（2，$\frac{p}{4}$），
把B代入拋物線x²=2py（p＞0）得，4=2p×$\frac{p}{4}$，
∴p=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷B為線段AF的中點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．