Question

對于△ABC，有如下幾個結論：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比數(shù)列．
③若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形；
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC是等邊三角形；
⑤P在△ABC所在平面內，且

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則點P是△ABC的垂心．
其中正確的結論序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①若sin2A=sin2B，則2A=kπ+（-1）^k•2B，分別取k=0時，取k=1時，即可判斷出；
②S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，分類討論：當公比q=1時，S_n=S_2n-S_n=S_3n-S_2n=na₁，即可判斷出．
當公比q≠1時，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=qⁿS_n，S_3n-S_2n=q²ⁿS_n，即可判斷出；
③若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)＞0，可得A+B=

π

2

或B=π-(

π

2

-A)，即可判斷出；
④由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，利用正弦定理可得

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，再利用倍角公式可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

．即可得出A=B=C．
⑤P在△ABC所在平面內，由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

，可得

PB

•(

PA

-

PC

)=

PB

•

CA

=0，可得PB⊥AC．
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，則2A=kπ+（-1）^k•2B，取k=0時，得到A=B，此時三角形ABC是等腰三角形，
取k=1時，A+B=

π

2

為直角三角形，因此①不正確；
②S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，
當公比q=1時，S_n=S_2n-S_n=S_3n-S_2n=na₁，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比數(shù)列．
當公比q≠1時，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=qⁿS_n，S_3n-S_2n=q²ⁿS_n，
因此S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比數(shù)列．可知②正確．
③若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)，
∴A+B=

π

2

或B=π-(

π

2

-A)，即A+B=

π

2

，或B=A+

π

2

，
因此△ABC不一定是直角三角形，因此不正確；
④∵

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，∴

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
∴sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

．
∵0＜

A

2

，

B

2

，

C

2

＜

π

2

，
∴

A

2

=

B

2

=

C

2

，即A=B=C．
∴△ABC是等邊三角形，因此正確；
⑤P在△ABC所在平面內，由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

，可得

PB

•(

PA

-

PC

)=

PB

•

CA

=0，∴

PB

⊥

AC

，∴PB⊥AC．
即點P在邊AC的高線上，同理點P在邊AB的高線上，點P在邊BC的高線上，
∴點P是△ABC的垂心．因此正確．
綜上可知：正確答案為②④⑤．

點評：本題綜合考查了解三角形、正弦定理、倍角公式、誘導公式、等比數(shù)列及其性質、向量垂直與數(shù)量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．