Question

8．設(shè)f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tanⁿxdx，（n∈N），證明f（3）+f（5）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根定積分的計(jì)算法則和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)即可證明．

解答 證明：∵f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tanⁿxdx，
∴f（3）+f（5）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan⁵xdx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x（sec²x-1）dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xsec²x dx-${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xsec²x dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x dtanx，
=$\frac{1}{4}$tan⁴x|${\;}_{0}^{\frac{π}{4}}$，
=$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算和三角函數(shù)的之間的關(guān)系，屬于中檔題．