Question

14．已知f（x）=x²-3，g（x）=me^x，若方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的實(shí)根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{6}{e^3}）$
• B． $（-3，\frac{6}{e^3}）$
• C． $（-2e，\frac{6}{e^3}）$
• D． （0，2e）

Answer 1

分析 設(shè)f（x）與g（x）的共同切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)，即可求出m的值，結(jié)合圖象可知m的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）與g（x）的共同切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵f（x）=x²-3，g（x）=me^x，
∴f′（x）=2x，g（x）=me^x，
∴f′（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），
∴2x₀=$m{e}^{{x}_{0}}$，x₀²-3=$m{e}^{{x}_{0}}$，
∴x₀=x₀²-3，
解得x₀=3，或x₀=-1（舍去）
當(dāng)x₀=3，
∴6=me³，即m=$\frac{6}{{e}^{3}}$，
∵方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的實(shí)根，由圖象可知，
∴0＜m＜$\frac{6}{{e}^{3}}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．