Question

15．已知以C為圓心的動圓過定點A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64（B為圓心）相切，點C的軌跡為曲線T．設Q為曲線T上（不在x軸上）的動點，過點A作OQ（O為坐標原點）的平行線交曲線T于M，N兩點．
（I）求曲線T的方程；
（Ⅱ）是否存在常數λ，使$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=λ{\overrightarrow{OQ}^2}$總成立？若存在，求λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷兩圓相內切，求出|CA|+|CB|=8，說明C點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，求出長軸長，短軸長，即可得到曲線T的方程．
（Ⅱ）當直線MN斜率不存在時，求出MN的方程為：x=0，然后求出λ；當直線MN斜率存在時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x+3），則OQ：y=kx，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{7{x^2}+16{y^2}=112}\\{y=k（x+3）}\end{array}}\right.$，利用韋達定理，推出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的表達式，通過$\left\{\begin{array}{l}7{x}^{2}+16{y}^{2}=112\\ y=kx\end{array}\right.$求出${\overrightarrow{OQ}}^{2}$，利用$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=λ{\overrightarrow{OQ}}^{2}$可解得λ．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-3，0）在圓B的內部，∴兩圓相內切，所以|CA|+|CB|=8＞6，
∴C點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，2a=8，a=4；2c=6，∴c=3，b=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$
∴曲線T的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$．…（4分）
（Ⅱ）當直線MN斜率不存在時，MN的方程為：x=0，∴${\overrightarrow{OQ}}^{2}=7$．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{AN}|•cosπ=7λ$，則$λ=-\frac{7}{16}$；…（5分）
當直線MN斜率存在時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x+3），則OQ：y=kx，
由$\left\{{\begin{array}{l}{7{x^2}+16{y^2}=112}\\{y=k（x+3）}\end{array}}\right.$得（7+16k²）x²+96k²x+144k²-112=0，
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-96{k}^{2}}{7+16{k}^{2}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{144{k^2}-112}}{{7+16{k^2}}}$，…（8分）
∴y₁y₂=k²[（x₁+3）（x₂+3）]=k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=$\frac{-49{k}^{2}}{7+16{k}^{2}}$．
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=y₁y₂+[（x₁+3）（x₂+3）]═$\frac{-49{（k}^{2}+1）}{7+16{k}^{2}}$…（10分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{7{x^2}+16{y^2}=112}\\{y=kx}\end{array}}\right.$得7x²+16k²x²=112，則x²=$\frac{112}{7+16{k}^{2}}$，
∴${\overrightarrow{OQ}}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}=（1+{k}^{2}）{x}^{2}=\frac{112（1+{k}^{2}）}{7+16{k}^{2}}$，由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=λ{\overrightarrow{OQ}}^{2}$可解得$λ=-\frac{7}{16}$．
綜上，存在常數$λ=-\frac{7}{16}$，使$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=λ{\overrightarrow{OQ}}^{2}$總成立．…（13分）

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應用，橢圓的軌跡方程的求法，向量與橢圓的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．