Question

19．已知雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，若雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，則雙曲線C的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，由此可得其漸近線方程，又由雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，分析可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得c=2b，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由于雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，
設(shè)其方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，其漸近線方程為：y=±$\frac{a}$x，
又由雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，
則有$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2b，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握由雙曲線的漸近線求離心率的方法．