Question

18．已知各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n+1•a_n-1，數(shù)列{b_n}對(duì)任意n∈N₊均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0．
（1）若a₁≠a₂，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下．已知b₁=2，b₄=5，a₂=$\frac{1}{2}$a₁，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由已知得{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，從而由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到$lg[{{a}_{1}}^{_{n+1}-_{n+2}}×（{a}_{1}{q}^{4}）^{_{n}-_{n+1}}]$=$lg（{a}_{1}{q}^{2}）^{_{n}-_{n+2}}$，進(jìn)而利用指數(shù)運(yùn)算法則能證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由已知得b₄=2+3d=5，q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，從而得到c_n=a_n•b_n=（n+1）•$（\frac{1}{2}）^{n}$，由此利用錯(cuò)位相減法能證明S_n＜3．

解答 （1）證明：∵各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n+1•a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，設(shè)公比為q（q＞0），
∵數(shù)列{b_n}對(duì)任意n∈N₊均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，
∴（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n-b_n+1）lga₅=（b_n-b_n+2）lga₃，
∴$lg[{{a}_{1}}^{_{n+1}-_{n+2}}×（{a}_{1}{q}^{4}）^{_{n}-_{n+1}}]$=$lg（{a}_{1}{q}^{2}）^{_{n}-_{n+2}}$，
∴$（\frac{1}{2}）^{_{n}-_{n+2}}$•${q}^{4（_{n}-_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{_{n}-_{n+2}}•{q}^{2（_{n}-_{n+2}）}$．
∴4（b_n-b_n+1）=2（b_n-b_n+2），
∴2b_n+1=b_n+b_n+2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）證明：∵{b_n}是等差數(shù)列，{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，b₁=2，b₄=5，a₂=$\frac{1}{2}$a₁，
∴b₄=2+3d=5，解得d=1，q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，b_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$2×\frac{1}{2}+3×（\frac{1}{2}）^{2}+4×（\frac{1}{2}）^{3}+…+（n+1）$×$（\frac{1}{2}）^{n}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}+4×（\frac{1}{2}）^{4}$+…+$（n+1）×（\frac{1}{2}）^{n+1}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}+…+（\frac{1}{2}）^{n}-（n+1）×（\frac{1}{2}）^{n+1}$
=1+$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}-（n+2）×（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴${S}_{n}=3-（n+2）×（\frac{1}{2}）^{n}$＜3．
∴S_n＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于3的證明，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用，是中檔題．