Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：
①函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)；
②對(duì)?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）成立；
③當(dāng)x∈（-

3

2

，-

3

4

]時(shí)，f（x）=log₂（-3x+1）．
則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：直接利用已知條件求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的解析式求解所求的表達(dá)式的值．

解答： 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)；說(shuō)明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
即f（x）=-f（-x）．
對(duì)?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）成立；所以對(duì)?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）=-f（x-

3

4

）成立；可得f（3+x）=f（x），函數(shù)的周期為3，
∵當(dāng)x∈（-

3

2

，-

3

4

]時(shí)，f（x）=log₂（-3x+1）．
∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴x∈（

3

4

，

3

2

），f（x）=-log₂（3x+1）．
∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1）=-log₂（3×1+1）=-2
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用冪函數(shù)的奇偶數(shù)的判斷，函數(shù)的周期的考查與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．