Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）由結(jié)合條件函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，可知，可建立關(guān)于的方程：，從而解得；（2）要使對任意恒成立，只需即可，而由（1）可知，∴問題即等價于求函數(shù)的最大值，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得其最值：

，令，解得，當(dāng)時，，∴在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，∴在上是減函數(shù)，因此在處取得最大值，∴即為所求；（3）考慮采用分析法證明欲證的不等式：

，故可考慮構(gòu)造函數(shù)，則問題等價于證明在上單調(diào)遞增，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)求證：，由（2）知，，∴，∴是上的增函數(shù)，即欲證不等式得證．

試題解析：（1）∵，∴， 1分

又∵的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，∴，即，

∴； 2分

（2） 由（1）知，，

∴對任意成立對任意成立， 4分

令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，

，令，解得， 5分

當(dāng)時，，∴在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，，∴在上是減函數(shù)． 6分

故在處取得最大值，∴即為所求； 8分

（3）令，則， 9分

由（2）知，，∴， 10分

∴是上的增函數(shù)，

∵，∴，即， 11分

∴， 12分

即，，

， 13分

∴，∴． 14分

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)極值．