Question

3．已知F為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，且雙曲線C的焦距為2c，定點(diǎn)G（0，c），若雙曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF|=|PG|，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （1，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出F的坐標(biāo)，F(xiàn)G的中點(diǎn)和斜率，可得線段FG的垂直平分線方程，由題意可得FG的垂直平分線與雙曲線有交點(diǎn)，運(yùn)用漸近線的斜率可得-1＞-$\frac{a}$，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得F（-c，0），F(xiàn)G的中點(diǎn)為（-$\frac{c}{2}$，$\frac{c}{2}$），
直線FG的斜率為$\frac{c-0}{0+c}$=1，可得FG的垂直平分線的斜率為-1，
即有線段FG的垂直平分線方程為y-$\frac{1}{2}$c=-（x+$\frac{1}{2}$c），即為y=-x．
由雙曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF|=|PG|，
可得FG的垂直平分線與雙曲線有交點(diǎn)，
由雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$，
即有-1＞-$\frac{a}$，即a＜b，可得a²＜b²=c²-a²，
可得e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的范圍的求法，以及線段的垂直平分線方程的求法，注意運(yùn)用漸近線的斜率與直線的斜率的關(guān)系，屬于中檔題．