Question

1．設D是△ABC的邊BC上一點，且$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，若AB：AD：AC=3：k：1，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• B． （1，4）
• C． （$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{3}$）
• D． （5，7）

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，兩邊平方后利用完全平方公式及平面向量的數(shù)量積運算法則化簡，利用余弦函數(shù)的值域求出k²的范圍，即可確定出k的范圍．

解答 解：如圖所示
∵D是△ABC的邊BC上一點，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
兩邊平方得：${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cosθ，θ∈（0，π），
即k²=$\frac{4}{9}$×9+$\frac{1}{9}$×1+$\frac{12}{9}$cosθ=$\frac{37}{9}$+$\frac{12}{9}$cosθ∈（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{9}$），
又k＞0，
∴k的取值范圍是（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{3}$）．
故選：C．

點評 本題考查了余弦定理，向量共線表示和三角形的應用問題，是綜合性題目．