Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5，（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）將n換成n-1，兩式相減，可得a_n+1=2a_n+1，由a₁=5，可得a₂=11，a₃=23．可得數(shù)列{a_n+1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式，求得a_n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）證明：由S_n+1=2S_n+n+5，可得：
S_n=2S_n-1+n+4，（n＞1且n∈N^*），
兩式相減可得，S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即為a_n+1=2a_n+1，
即有a_n+1+1=2（a_n+1），
由a₁=5，可得a₂=11，a₃=23．
則數(shù)列{a_n+1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n+1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
即有a_n=3•2ⁿ-1，
前n項和S_n=（6+12+…+3•2ⁿ）-n
=$\frac{6（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=3•2ⁿ⁺¹-6-n．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．