Question

對于下列命題：
①若關于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
②已知函數(shù)f（x）=log₂

a-x

1+x

為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為1；
③設a=sin

2014π

3

，b=cos

2014π

3

，c=tan

2014π

3

，則a＜b＜c；
④△ABC中角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若a=2，b=5，A=

π

6

，則△ABC有兩組解；其中正確命題的序號是

 

（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：分類討論求出關于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立的a的范圍判斷①；由函數(shù)定義域關于原點對稱求出a，然后用奇函數(shù)的定義驗證判斷②；
直接求出a，b，c的值判斷③；由正弦定理求解sinB判斷④．

解答： 解：①關于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，
當a=0時不等式ax²+2ax+1＞0 可化為1＞0恒成立；
當a≠0，若不等式ax²-2ax+1＞0 對一切x∈R恒成立，則

a＞0 (-2a)2-4a＜0

，解得0＜a＜1．
綜上，a∈[0，1）．命題①錯誤；
②函數(shù)f（x）=log₂

a-x

1+x

為奇函數(shù)，由

a-x

1+x

＞0，得-1＜x＜a，
∴a=1．
當a=1時，f(x)=log2

1-x

1+x

，滿足f（-x）=log2

1+x

1-x

=-f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)．命題②正確；
③a=sin

2014π

3

=-sin

π

3

=-

3

2

，b=cos

2014π

3

=-cos

π

3

=-

1

2

，c=tan

2014π

3

=tan

π

3

=

3

，則a＜b＜c．命題③正確；
④△ABC中角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若a=2，b=5，A=

π

6

，
由

2

sin π 6

=

5

sinB

，得sinB=

5

4

＞1．則△ABC無解．命題④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)奇偶性的性質，考查了三角函數(shù)的求值，是中檔題．