Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常數(shù)，且m≠1，m≠0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時，證明：S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常數(shù)，且m≠1，m≠0．變形為$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n}$=a_n-1，利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），而S₁•S₂•…•S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{n}}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），要證明S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．只需要證明（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$即可．下面利用數(shù)學(xué)歸納法先證明：當(dāng)n≥2時，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$），即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常數(shù)，且m≠1，m≠0．
∴$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n}$=a_n-1，
當(dāng)n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{m}{a}_{1}+{a}_{1}-1$，解得a₁=m．
當(dāng)n≥2時，$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n-1}$=a_n-1-1，
$（1-\frac{1}{m}）{a}_{n}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，
化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=m$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為m，公比為m．
∴a_n=mⁿ．
（2）證明：當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴S₁•S₂•…•S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{n}}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
要證明S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
只需要證明（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$即可．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法先證明：當(dāng)n≥2時，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$），
（i）當(dāng)n=2時，$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$=$\frac{2}{3}$×$\frac{8}{9}$=$\frac{16}{27}$$＞\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{{3}^{2}}）$=$\frac{5}{9}$，此時不等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*（k≥2）時，不等式成立，即（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$），
則當(dāng)n=k+1時，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$，
∵（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$=1+$\frac{1}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$-$\frac{1}{{3}^{k}}×\frac{1}{{3}^{k+1}}$=$1+\frac{1}{{3}^{k+1}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}（1-\frac{1}{{3}^{k}}）$＞$1+\frac{1}{{3}^{k+1}}$，
∴（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
∴不等式對于n=k+1時也成立，
綜上可得：不等式對于?n∈N^*都成立．
∴當(dāng)n≥2時，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$）$＞\frac{1}{2}$，
因此當(dāng)n≥2時，S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
經(jīng)過驗證當(dāng)n=1時也成立，
因此對于?n∈N^*，S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$成立．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推式、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．