Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx+x，（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）法一：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為只需f（x）_min≥0即可，通過(guò)討論a的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，解出a的范圍即可；
法二：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，a$\frac{lnx}{x}$+1≥0恒成立；令u=$\frac{lnx}{x}$，得到函數(shù)g（u）=au+1，u∈[-e，$\frac{1}{e}$]，通過(guò)討論函數(shù)g（u）的單調(diào)性，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=$\frac{-2}{x}$+1，
由f′（x）＞0，解得x＞2，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
由f′（x）＜0，解得x＜2，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）；  
（2）解法一：對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即只需f（x）_min≥0即可，f′（x）=$\frac{a}{x}$+1=$\frac{a+x}{x}$，
當(dāng)a≥0時(shí)在[$\frac{1}{e}$，e]上，f′（x）≥0恒成立，即f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$-a≥0，解得a≤$\frac{1}{e}$，
又因?yàn)閍≥0，所以0≤a≤$\frac{1}{e}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0得x=-a，-e≤a＜0，
①當(dāng)-a≤$\frac{1}{e}$即-$\frac{1}{e}$≤a＜0時(shí)，在[$\frac{1}{e}$，e]上f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$-a≥0，解得：a≤$\frac{1}{e}$，
又因?yàn)?$\frac{1}{e}$≤a＜0，所以-$\frac{1}{e}$≤a＜0；
②當(dāng)$\frac{1}{e}$＜-a＜e即-e＜a＜-$\frac{1}{e}$時(shí)，令f′（x）＞0得：-a＜x＜e，
令f′（x）＜0得：$\frac{1}{e}$＜x＜-a，所以f（x）在[$\frac{1}{e}$，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，e]上單調(diào)遞增，
所以x=-a時(shí)f（x）取得最小值，
此時(shí)f（x）_min=f（-a）=aln（-a）-a≥0，解得：a≥-e，
又因?yàn)?e＜a＜-$\frac{1}{e}$，所以-e＜a＜-$\frac{1}{e}$，
③當(dāng)-a≥e即a≤-e時(shí)，在[$\frac{1}{e}$，e]上f′（x）＜0，
所以f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e）=a+e≥0，解得a≥-e，因?yàn)閍≤-e，所以a=-e，
綜上可得：-e≤a≤$\frac{1}{e}$．    
解法2：對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，f（x）=alnx+x≥0恒成立，
即對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，a$\frac{lnx}{x}$+1≥0恒成立；
令u=$\frac{lnx}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]則u′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$≥0恒成立；
所以u(píng)=$\frac{lnx}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增；則u∈[-e，$\frac{1}{e}$]，
所以對(duì)任意u∈[-e，$\frac{1}{e}$]，au+1≥0；
令g（u）=au+1，u∈[-e，$\frac{1}{e}$]，
則g（u）的最小值為g（-e）與g（$\frac{1}{e}$）中較小的一個(gè)；
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{g（-e）≥0}\\{g（\frac{1}{e}）≥0}\end{array}\right.$時(shí)，即$\left\{\begin{array}{l}{-ae+1≥0}\\{\frac{a}{e}+1≥0}\end{array}\right.$時(shí)，題設(shè)不等式恒成立；
即：-e≤a≤$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是一道中檔題．