Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{a+1}）{x^2}$+ax+1．
（1）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x-1）（x-a），
a＜1時，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜a，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）遞增，（a，1）遞減，（1，+∞）遞增，
a＞1時，令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
a=1時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增；
（2）f′（x）=（x-1）（x-a），x∈[0，1]，
a≥1時，f（x）在[0，1]遞增，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，f（x）_min=f（0）=1，
a≤0時，f（x）在[0，1]遞減，
∴f（x）_max=f（0）=1，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，
0＜a＜1時，f（x）在（0，a）遞增，（a，1）遞減，
∴f（a）=-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+1，
a∈（0，$\frac{1}{3}$）時，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，
a∈[$\frac{1}{3}$，1）時，f（x）_min=f（0）=1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．