Question

7．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=-x³+3x+a．
（1）求f（x）的極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得方程f（x）=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，求出極值即可；
（2）根據(jù)第一問(wèn)可知，只需極大值或極小值為零可使f（x）=0恰有兩個(gè)實(shí)根．

解答 解：（1）令f′（x）=-3x²+3=0得x=±1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0
f（x）_極小=f（-1）=a-2，f（x）_極大=f（1）=a+2；
（2）當(dāng)極大值或極小值為零時(shí)f（x）=0恰有兩個(gè)實(shí)根，
則a=2或a=-2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及三次方程的實(shí)數(shù)根問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．