Question

19．設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）的圖象上一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-2）⁵），$\overrightarrow$=（1，y-2x），且滿足$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=36，則a₁+a₂+…+a₉=（　�。�

• A． 0
• B． 9
• C． 18
• D． 36

Answer 1

分析 由向量共線求出函數(shù)f（x）的解析式，設(shè)g（x）=f（x+2），利用函數(shù)的奇偶性以及等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₅的值，從而求出a₁+a₂+…+a₉的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-2）⁵），$\overrightarrow$=（1，y-2x），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴y-2x-（x-2）⁵=0，
即y=（x-2）⁵+2x，
∴f（x）=（x-2）⁵+2x；
令g（x）=f（x+2）-4=x⁵+2x，
則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
由f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=36，
得g（a₁-2）+g（a₂-2）+…+g（a₉-2）=0，
又?jǐn)?shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，
∴g（a₅-2）=0，即a₅-2=0，a₅=2，
∴a₁+a₂+…+a₉=9a₅=9×2=18．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與等差數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性問(wèn)題．