Question

9．已知復數(shù)z滿足等式|z-1|=|z+2i|（i是虛數(shù)單位），則|z-1-i|的最小值是$\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知求出z的軌跡，把|z-1-i|的最小值轉化為點（1，1）到直線2x+4y+3=0的距離求解．

解答 解：設z=x+yi（x，y∈R），
∵|z-1|=|z+2i|，
∴|x-1+yi|=|x+（y+2）i|，
即$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$，
整理得：2x+4y+3=0．
∴復數(shù)z的對應點的軌跡是2x+4y+3=0．
∴|z-1-i|的最小值即為點（1，1）到直線2x+4y+3=0的距離為：$d=\frac{|2+4+3|}{{\sqrt{4+16}}}=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$．
故答案為：$\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$．

點評 本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．