Question

3．設(shè)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+7，α．β均為實(shí)數(shù)，若f（2015）=6，求f（2016）的值．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），由f（2015）=6和誘導(dǎo)公式可得g（2015），整體法可得g（2016），再由f（2016）=g（2016）+7可得．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），則f（x）=g（x）+7，
由f（2015）=g（2015）+7=6可得g（2015）=-1，
即asin（2015π+α）+bcos（2015π+β）=-1，
由誘導(dǎo)公式化簡可得asinα+bcosβ=1，
∴g（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）
=asinα+bcosβ=1，
f（2016）=g（2016）+7=8

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)并整體求解asinα+bcosβ=1是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．