Question

1．如圖，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的鐵皮，長(zhǎng)方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=2，BC=4，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)△PMN，其中邊MN⊥BC，點(diǎn)P在曲線MAB上運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)∠MOD=30°，若PM=PN，求△PMN的面積；
（2）求剪下的鐵皮△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)MN交AD交于Q點(diǎn)由∠MOD=30°，利用銳角三角函數(shù)可求MQ，OQ，進(jìn)而可求MN，AQ，代入S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ可求；
（2）設(shè)∠MOQ=θ，由θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面積公式S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$（1+sinθ）（1+cosθ）展開(kāi)利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解．

解答 解：（1）設(shè)MN交AD交于Q點(diǎn)，
∵PM=PN，
∴點(diǎn)P在線段AB上，
∵∠MQD=30°，
∴MQ=1，OQ=$\sqrt{3}$
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$×3×（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{{6+3\sqrt{3}}}{2}$…．…（7分）
（2）設(shè)∠MOD=θ$（{θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，則 MQ=2sinθ，OQ=2cosθ．
設(shè)P到MN的距離為h，則h≤|AQ|=2+2cosθ，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•h≤$\frac{1}{2}$（2+2sinθ）（2+2cosθ）=2 （1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）
令sinθ+cosθ=t∈$[{1，\sqrt{2}}]$，則S_△PMN=2 （1+$\frac{{{t^2}-1}}{2}$+t）=（t+1）²
當(dāng)t=$\sqrt{2}$即θ=$\frac{π}{4}$，且P在線段AB上時(shí)，S_△PMN取得最大值，最大值為$3+2\sqrt{2}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值，換元法的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，屬于中檔題．