Question

12．過(guò)點(diǎn)M（-1，$\frac{1}{2}$）的直線l與橢圓x²+2y²=2交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，設(shè)直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OM的斜率為k₂，則k₁k₂的值為（　�。�

• A． 2
• B． -2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程，由點(diǎn)差法得k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{x}{2y}$，又k₂=$\frac{y}{x}$，由此能求出k₁k₂的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓x²+2y²=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=2}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=2}\end{array}\right.$，
兩式相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{x}{2y}$，
又k₂=$\frac{y}{x}$，
∴k₁k₂=-$\frac{x}{2y}$•$\frac{y}{x}$=-$\frac{1}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的運(yùn)用，直線的斜率的公式的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．