Question

16．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt，x≤0}\end{array}\right.$，則f（2015）等于$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 利用x＞0時(shí)的解析式求出函數(shù)的周期是4，推出f（2015）=f（-1），再由x≤0時(shí)的解析式、由定積分的運(yùn)算求f（2015）的值．

解答 解：由題意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt，x≤0}\end{array}\right.$，
所以x＞0時(shí)，f（x+4）=f（x），
則f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（-1），
又f（-1）=2^-1+${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3tdt$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$sin3t）${|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×（1-0）$=$\frac{5}{6}$，
所以f（2015）=$\frac{5}{6}$
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)值的求法，函數(shù)的周期性，定積分的應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．