Question

19．在△OAB的邊OA，OB上分別有一點P，Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，連接AQ，BP，設(shè)它們交于點R，若$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OR}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為60°，過R作RH⊥AB交AB于點H，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OH}$．

Answer 1

分析 （1）由題意知$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$，從而由A，R，Q三點共線可得$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{a}$+m（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=（1-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$m$\overrightarrow$，同理化簡可得$\overrightarrow{OR}$=$\frac{n}{3}$$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow$，從而解得；
（2）由A，H，B三點共線可得$\overrightarrow{OH}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{RH}$=（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow$，結(jié)合$\overrightarrow{RH}$•$\overrightarrow{AB}$=0解得即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$，
由A，R，Q三點共線，可設(shè)$\overrightarrow{AR}$=m$\overrightarrow{AQ}$．
故$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{a}$+m（$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\overrightarrow{a}$+m（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=（1-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$m$\overrightarrow$．
同理，由B，R，P三點共線，可設(shè)$\overrightarrow{BR}$=n$\overrightarrow{BP}$．
故$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BR}$=$\overrightarrow$+n（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{n}{3}$$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow$．
由于$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，則有$\left\{\begin{array}{l}1-m=\frac{n}{3}\\ \frac{3}{5}m=1-n\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{6}\\ n=\frac{1}{2}.\end{array}$
∴$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．
（2）由A，H，B三點共線，可設(shè)$\overrightarrow{BH}$=λ$\overrightarrow{BA}$，
則$\overrightarrow{OH}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{RH}$=$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OR}$=（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow$．
又$\overrightarrow{RH}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{RH}$•$\overrightarrow{AB}$=0．
∴[（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow$]•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0．
又∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos 60°=1，
∴λ=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{OH}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算及線性運算的應(yīng)用，