Question

9．過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建設(shè)極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直線l與曲線C分別交于M，N．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）作差x-y即可把直線l的參數(shù)方程化為普通方程．曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，設(shè)|PM|=t₁，|PN|=t₂，可得|MN|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，可得|MN|²=|PM||PN|，代入計(jì)算即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-y=2．
曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得：直角坐標(biāo)方程：y²=2ax．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程：y²=2ax．
可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=$8\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a，t₁t₂=8a+32．
∴|PM|=t₁，|PN|=t₂，
|MN|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}-4（8a+32）}$，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|MN|²=|PM||PN|，
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}$-4（8a+32）=8a+32，
化為：a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．