Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，均有S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．則n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1-2ⁿ．

Answer 1

分析 a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，可得a₁+a₃=2（a₂+1），由S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，分別取n=1，2，可得：a₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-2+$\frac{3}{2}$，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{3}$-4+$\frac{3}{2}$，
聯(lián)立解得a₁，a₂，a₃．再利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，∴a₁+a₃=2（a₂+1），
由S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，分別取n=1，2，可得：a₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-2+$\frac{3}{2}$，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{3}$-4+$\frac{3}{2}$，
聯(lián)立解得a₁=-1，a₂=-1，a₃=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$-$（\frac{1}{2}{a}_{n}-{2}^{n-1}+\frac{3}{2}）$，化為：a_n+1=3a_n+2ⁿ，變形為：a_n+1+2ⁿ⁺¹=3$（{a}_{n}+{2}^{n}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}+{2}^{n}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，
∴a_n+2ⁿ=3^n-1，∴a_n=3^n-1-2ⁿ，
于是n≥2時(shí)，a_n=3^n-1-2ⁿ．
故答案為：3^n-1-2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．