Question

4．為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）．
已知某種二元碼x₁x₂…x₇的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：⊕$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}⊕{x}_{5}⊕{x}_{6}⊕{x}_{7}=0}\\{{x}_{2}⊕{x}_{3}⊕{x}_{6}⊕{x}_{7}=0}\\{{x}_{1}⊕{x}_{3}⊕{x}_{5}⊕{x}_{7}=0}\end{array}\right.$，其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于5．

Answer 1

分析 根據(jù)二元碼x₁x₂…x₇的碼元滿足的方程組，及“⊕”的運(yùn)算規(guī)則，將k的值從1至7逐個(gè)驗(yàn)證即可．

解答 解：依題意，二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，
①若k=1，則x₁=0，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₄⊕x₅⊕x₆⊕x₇=1，故k≠1；
②若k=2，則x₁=1，x₂=0，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠2；
③若k=3，則x₁=1，x₂=1，x₃=1，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠3；
④若k=4，則x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=0，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₁⊕x₃⊕x₅⊕x₇=1，故k≠4；
⑤若k=5，則x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=0，x₆=0，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₄⊕x₅⊕x₆⊕x₇=0，x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=0，x₁⊕x₃⊕x₅⊕x₇=0，
故k=5符合題意；
⑥若k=6，則x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=1，x₇=1，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠6；
⑦若k=7，則x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=0，
從而由校驗(yàn)方程組，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠7；
綜上，k等于5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題屬新定義題，關(guān)鍵是弄懂新定義的含義或規(guī)則，事實(shí)上，本題中的運(yùn)算符號(hào)“⊕”可看作是兩個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值運(yùn)算，知道了這一點(diǎn)，驗(yàn)證就不是難事了．