Question

10．等比數(shù)列{a_n}中，a₂-a₁=2，且2a₂為3a₁和a₃的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2log₃a_n+1，且數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n．求T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由2a₂為3a₁和a₃的等差中項(xiàng)，可得2×2a₂=3a₁+a₃，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入化簡(jiǎn)為q²-4q+3=0，
解得q．又a₂-a₁=2，a₁（q-1）=2，q≠1，解出即可得出．
（2）b_n=2log₃a_n+1=2n-1，可得$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n1-）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵2a₂為3a₁和a₃的等差中項(xiàng)，∴2×2a₂=3a₁+a₃，化為4a₁q=$3{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}$，∴q²-4q+3=0，
解得q=1或3．又a₂-a₁=2，∴a₁（q-1）=2，q≠1，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=2log₃a_n+1=2n-1，
∴$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n1-）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．