Question

5．已知實數(shù)m，n，且點（1，1）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{mx+ny≤2}\\{ny-2mx≤2}\\{ny≥1}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m+2n的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，4]，m²+n²的取值范圍為[1，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)點與不等式組的關(guān)系建立關(guān)于m，n的不等式關(guān)系，利用目標函數(shù)的幾何意義分別進行求解即可．

解答 解：∵點（1，1）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{mx+ny≤2}\\{ny-2mx≤2}\\{ny≥1}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n≤2}\\{n-2m≤2}\\{n≥1}\end{array}\right.$作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，
設z=m+2n，則m=-2n+z，
平移直線m=-2n+z，由圖象，知當直線m=-2n+z經(jīng)過B時直線截距最小，此時z最小，
當直線經(jīng)過C（2，0）時，直線的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{n-2m=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{m=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即B（1，-$\frac{1}{2}$），
則z的最小值為z=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，最大值z=2×2=4．
即m+2n的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，4]，
m²+n²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，
由圖象知，（1，0）到原點的距離最小，為1，
C（2，0）到原點的距離最d大，為4，
則m²+n²的取值范圍為[1，4]，
故答案為：[$\frac{3}{2}$，4]，[1，4]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．