Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m}{x}$+xlnx（m＞0），g（x）=lnx-2．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-xg（x）-$\sqrt{2}$，x＞0．若函數(shù)y=h（h（x））的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求m的值；
（3）若函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是[1，e]，對(duì)于函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)A，在函數(shù)g（x）的圖象上都存在一點(diǎn)B，使得OA⊥OB，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的最小值，從而求出m的值即可；
（3）根據(jù)OA和OB的關(guān)系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx≤m≤x²（e-lnx）在[1，e]上恒成立，設(shè)p（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m≥p（1）=$\frac{1}{2}$，設(shè)q（x）=x²（e-lnx），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m≤q（1），從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$+xlnx，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+lnx+1，
因?yàn)閒′（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，且f′（1）=0，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）h（x）=$\frac{m}{x}$+2x-$\sqrt{2}$，則h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-m}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）上單調(diào)減；
當(dāng)x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞）上單調(diào)增．
所以[h（x）]_min=h（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）=2$\sqrt{2}$m-$\sqrt{2}$，
①當(dāng)$\sqrt{2}$（2m-1）≥$\sqrt{\frac{m}{2}}$，即m≥$\frac{4}{9}$時(shí)，函數(shù)y=h（h（x））的最小值
h（2$\sqrt{2}$m-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$[$\frac{m}{2（2\sqrt{m}-1）}$+2（2$\sqrt{m}$-1）-1]=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
即17m-26$\sqrt{m}$+9=0，解得$\sqrt{m}$=1或$\sqrt{m}$=$\frac{9}{17}$（舍），所以m=1；
②當(dāng)0＜$\sqrt{2}$（2$\sqrt{m}$-1）＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，即$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{4}{9}$時(shí)，
函數(shù)y=h（h（x））的最小值h（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{m}$-1）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，解得$\sqrt{m}$=$\frac{4}{5}$（舍），
綜上所述，m的值為1．
（3）由題意知，K_OA=$\frac{m}{{x}^{2}}$+lnx，K_OB=$\frac{lnx-2}{x}$，
考慮函數(shù)y=$\frac{lnx-2}{x}$，因?yàn)閥′=$\frac{3-lnx}{{x}^{2}}$在[1，e]上恒成立，
所以函數(shù)y=$\frac{lnx-2}{x}$在[1，e]上單調(diào)增，故K_OB∈[-2，-$\frac{1}{e}$]，
所以K_OA∈[$\frac{1}{2}$，e]，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{{x}^{2}}$+lnx≤e在[1，e]上恒成立，
即$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx≤m≤x²（e-lnx）在[1，e]上恒成立，
設(shè)p（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx，則p′（x）=-2lnx≤0在[1，e]上恒成立，
所以p（x）在[1，e]上單調(diào)減，所以m≥p（1）=$\frac{1}{2}$，
設(shè)q（x）=x²（e-lnx），
則q′（x）=x（2e-1-2lnx）≥x（2e-1-2lne）＞0在[1，e]上恒成立，
所以q（x）在[1，e]上單調(diào)增，所以m≤q（1）=e，
綜上所述，m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．