Question

17．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^x}，x≤0\\{x^3}-3x+a，x＞0\end{array}\right.$的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 3≥a≥2
• B． 3≥a＞2
• C． a≤2
• D． a＜2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，求出x≤0時(shí)，f（x）的值域，
再討論x＞0時(shí)，f（x）的值域，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值，
由此求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^x}，x≤0\\{x^3}-3x+a，x＞0\end{array}\right.$的值域?yàn)閇0，+∞），
∴當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2^x≤1，∴1＞1-2^x≥0，
即0≤f（x）＜1；
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=x³-3x+a，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（x）_min=f（1）=1-3+a=a-2；
令0≤a-2≤1，
解得2≤a≤3．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)的最值與值域的應(yīng)用問題，是綜合題．