Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上下頂點(diǎn)分別為M，N，若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線MF₂與橢圓交于另一點(diǎn)E，求△MF₁E的面積；
（3）Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點(diǎn)，設(shè)P，A，B是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，求證：直線OA與OB的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2，建立方程，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（2）求出直線MF₂與橢圓交于另一點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求△MF₁E的面積；
（3）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把點(diǎn)A，B代入橢圓方程可，利用Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點(diǎn)可得m²+n²=1，由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，得到P的坐標(biāo)，因P在橢圓上，代入整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$）m²+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$）n²+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$）mn=1，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2，
所以$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2b=2，
所以a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）解：直線ME的方程為y=-x+1，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可得3x²-4x=0，
所以x=0或$\frac{4}{3}$，
x=$\frac{4}{3}$時(shí)，y=-$\frac{1}{3}$，
所以△MF₁E的面積為$\frac{1}{2}×2×（1+\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{3}$；
（3）證明：設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$③，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$④，
又m²+n²=1⑤，
因$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，故x=mx₁+nx₂，y=my₁+ny₂，
因P在橢圓上，代入整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$）m²+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$）n²+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$）mn=1．
將③④⑤代入上式，并注意點(diǎn)Q（m，n）的任意性，得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=0．
所以，k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量運(yùn)算、斜率的計(jì)算公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．